得知牛顿科特斯公式出来之后。
辛普森说：“既然出现了一个简单的求积分的方法。那就需要求一些相对复杂的。”
相对于那些矩形这些简单而言，较为复杂一些的是抛物线包围。
这就是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。
利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。
可以应用在立体几何中用来求拟柱体体积的公式。
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体。它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高。
设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为
V = H (S_1 + 4S_0 + S_2)/6.
式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。
事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。
之后辛普森在思考更高维度的情况，也就是更高维度的拟柱体这样的东西。
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